Homogénéisation

Equation des ondes, ondes de Bloch

G. Allaire étudie la propagation d'onde dans un milieu périodique sous certains régimes asymptotiques limites. Les cas des l'équation des ondes scalaire et du système de Maxwell ont été tous deux considérés. Deux phénomènes distincts ont été analysés. Tout d'abord, la localisation peut être obtenue sous des hypothèses géométriques spécifiques dans un milieu périodique dont les propriétés varient de manières macroscopiques. C'est une variante déterministe et asymptotique de la localisation bien connue d'Anderson dans un milieu aléatoire. D'autre part, la diffraction a été analysée en détail dans le cas des comportements en temps longs d'une onde de Block monochromatique. Plus précisément, pour tout équation des ondes périodique de période ε et pour des temps de l'odre de 1/ε, on construit des solutions approchées à trois échelles de type WKB. Le profil principal est à la fois transporté à une vitesse de groupe et dispersé par une équation de Schrödinger donnée par une approximation quadratique de la relation de dispersion de Bloch des ondes planaires. Ce type de résultats explique le phénomène de lumière lente ainsi que les pertes apparaissant dans les fibres optiques composées de crystaux photoniques.

Milieux poreux

G. Allaire et R. Brizzi étudient différents modèles de convection, diffusion, réaction dans les média poreux. Le principal objectif est d'obtenir un modèle macroscopique équivalent dont les paramètres peuvent être calculés explicitement. Une motivation possible porte sur le stockage souterrain des déchets nucléaires. Il est bien connu que les phénomènes microscopiques à l'échelle des pores peuvent avoir des conséquences importantes à l'échelle macroscopique, en particulier sur les échelles de temps longues, comme c'est le cas pour le stockage des déchets nucléaires. Ainsi, des phénomènes qui ont a priori un impact assez faible, comme l'électrocinétique (le couplage entre électrostatique et la convection/diffusion) sont en fait essentiels. Ce travail est mené en collaboration avec des chimistes qui proposent les modèles électrocinétiques réalistes à l'échelle microscopique sur lesquels sont basés nos calculs d'homogénéisation. Le cas dit idéal, correspondant à l'équation de Boltzmann-Poisson, doit être remplacé par le modèle MSA (Mean spherical Approximation) qui prend en compte les effets stériques et les interactions entre particules. Nous établissons de nouveaux résultats d'existence de solutions et étudions leur comportement asymptotique par rapport à divers paramètres physiques (comme le rapport entre la longueur de Debye et la taille des pores) ainsi que les variations du tensuer de dispersion par rapport au cas idéal.

Eléments finis multiéchelles

Lien: Comparaison de l'évolution de la température dans une section de réacteur refroidi par gaz: de droite à gauche, solution exacte, solution homogénéisée, solutions reconstruites par homogénéisation du 1er et du 2ème ordre. (Crédit Z. Habibi)

G. Allaire s'intéresse également à la méthode des éléments finis multiéchelles et diverses applications à la physique des réacteurs nucléaires.