Séminaire du pôle Probabilités

 

Résumé :

L'étude du conditionnement à la non-extinction est un thème fondamental de la théorie des processus de branchement. La propriété de branchement permet une étude complète du processus conditionné. En particulier, un terme d'immigration indépendante apparait et s'interprète comme la lignée d'un individu immortel. Lorsqu'un terme de compétition quadratique est ajouté dans la dynamique initiale, la propriété de branchement est brisée et toute la structure classique qui en découle est mise à mal. L'objectif de cet exposé est de présenter une méthode explicite pour conditionner les processus de branchement avec compétition quadratique (branchement logistique, Lambert 2005). Nous montrerons qu'il existe une équivalence entre l'extinction de la population et la finitude de la progéniture totale (c'est-à-dire le nombre total d'individus ayant vécu). Le conditionnement que nous proposons est alors défini en imposant à la progéniture totale de dépasser des variables aléatoires exponentielles arbitrairement grandes. Le processus ainsi conditionné peut être relié au processus initial par une h-transformée de Doob explicite. Nous caractérisons ce processus conditionné comme la solution faible d'une équation stochastique à sauts, où un terme d'immigration dépendant de la taille vient s'ajouter à la dynamique de branchement avec compétition. Comme pour le processus de branchement classique, le processus conditionné peut démarrer à partir de zéro (qui s'interprète alors comme l'individu immortel).