Séminaire du Pôle Analyse

Lieu : salle de conférence du CMAP

Horaire : un mardi sur deux, de 11h30 à 12h30

Remarque : le séminaire du pôle analyse est généralement précédé du séminaire du pôle probabilité (de 10h à 11h)

Les organisateurs : Beniamin Bogosel, Maxime Breden, Flore Nabet & Teddy Pichard (à contacter à l'alias seminairepan "at" cmap.polytechnique.fr

Mai 2024

Mardi 14 mai - exceptionnellement en salle Jean Lascoux (RdC de l'aile 0)

11h30 Nina Aguillon (LJLL, Sorbonne Université) - Quantification a posteriori de la diffusion numérique

Résumé : Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités. Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d'entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non. Il est très important d'obtenir une version discrète de ces inégalités d'entropie lorsqu'on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d'être instable. Obtenir une inégalité d'entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d'ordre élevé. Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d'obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d'ordre quelconque. Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d'optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l'entropie et de prouver que certains schémas ne sont pas entropiques. C'est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon.

Pas de séminaire du pôle analyse la dernière semaine de mai, mais un exposé de Nick Trefethen le mercredi 29 mai à 14h dans le cadre du colloquium.

Juin 2024

Mardi 11 juin

11h30 Guillaume Bal (University of Chicago)

Mardi 25 juin

11h30 Cécile Taing (LMA - Université de Poitier)

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ANCIENS SEMINAIRES

Avril 2024

Mardi 30 avril

11h30 Lia Bronsard (McMaster University) - Boundary defects in liquid crystals

Résumé : We study the effect of "weak" and "strong" boundary conditions on the location and type of defects observed in a Landau de Gennes thin-film model for liquid crystals. We study the minimizers of an associated Ginzburg-Landau energy, including the effect of bend and splay, and present a Gamma limit, when the correlation length tends to zero. These represent joint works with S. Alama, A. Colinet, D. Louizos, D. Stantejsky and L. van Brussel.

Mardi 2 avril

11h30 Axel Modave (UMA - ENSTA Paris) - A HDG method with transmission variables for the iterative solution of Helmholtz problems

Résumé : We present a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) finite element method, called CHDG, for the iterative solution of Helmholtz problems. In standard HDG methods, hybrid unknowns corresponding to numerical traces are introduced at the interfaces between the elements. Then, the physical unknowns are eliminated from the global system, resulting in a hybrid system defined on the mesh skeleton. In CHDG, the hybrid unknowns correspond to transmission variables. This strategy improves the properties of the hybrid system for iterative solution procedures. We can prove that the system can be solved by fixed-point iteration, even for cavity problems. Numerical results on representative 2D benchmarks show that the convergence of CGNR and GMRES is accelerated. Preliminary 3D results are presented. This is a joint work with Théophile Chaumont-Frelet, in the framework of the ANR WavesDG project.

Mars 2024

Mardi 19 mars

11h30 Lucas Chesnel (INRIA - ENSTA Paris) - Invisibilité et camouflage d'obstacles dans des guides d'ondes acoustiques

Résumé : Dans cet travail, nous nous intéressons à la propagation d'ondes dans des guides acoustiques non bornés dans une direction. De manière générale, la diffraction d'une onde incidente dans une telle structure en présence d'un objet génère une réflexion et une transmission caractérisées par les coefficients de la matrice de scattering. Dans un premier temps, nous présenterons différentes techniques pour construire des perturbations de la géométrie de référence (sans objet) qui sont invisibles. Dans un second temps, nous expliquerons comment perturber les parois du guide pour dissimuler un obstacle donné, autrement dit pour faire en sorte que les coefficients de la matrice de scattering dans la nouvelle géométrie soient les mêmes que dans la situation de référence. Mathématiquement, nous utiliserons des outils d'analyse asymptotique, notamment en présence de ligaments fins résonants. Ces derniers nous permettront de jouer avec les résonances complexes et d'annihiler la diffraction liée à l'obstacle.

Mardi 5 mars

11h30 Paul Pegon (CEREMADE, Université Paris-Dauphine - PSL) - Asymptotics for optimal quantization in branched optimal transport

Résumé : The problem of optimal quantization of measures consists in finding the best approximation of a given measure by an atomic measure with a fixed number of atoms, usually expressed through Wasserstein distances. One can formulate the same problem considering instead the irrigation distances of branched optimal transport, where the transport cost behaves as a concave power of the mass and depends on all the trajectories of the particles. We study the asymptotic behaviour of optimal quantizers for absolutely continuous measures as the number of atoms grows to infinity. We compute the limit distribution of the corresponding point clouds and show in particular a branched transport version of Zador's theorem. Moreover, we establish the asymptotic quasi-uniformity of optimal quantizers in terms of separation distance and covering radius of the atoms, when the measure is uniform. This is a joint work with Mircea Petrache.

Février 2024

Mardi 6 février

11h30 Gisella Croce (SAMM, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne) - Un résultat de rupture de symétrie

croce_X.pdf

Janvier 2024

Mardi 23 janvier

11h30 Julien Mathiaud (IRMAR, Université de Rennes) - An ES-BGK model for diatomic gases with correct relaxation rates for internal energies

Résumé : We propose a new ES-BGK model for diatomic gases which allows for translational-rotational and translational-vibrational energy exchanges, as given by Landau-Teller and Jeans relaxation equations. This model is consistent with the general definition of the vibrational and rotational collision numbers that are also commonly used in DSMC solvers. It is proved to satisfy the H-theorem and to give the correct transport coefficients, up to the volume viscosity.

Mardi 9 janvier

11h30 Phillipo Lappicy (Universidad Complutense de Madrid) - The dynamics of global attractors for nonlinear parabolic equations

Résumé : We explicitly construct global attractors for nonlinear parabolic equations with two types of phenomena. First, in case the semiflow is dissipative, the attractor is compact and it can be decomposed as equilibria and heteroclinic orbits. Second, in case the semiflow is not dissipative, the attractor is unbounded and can be compactified using an appropriate Poincaré projection. In particular, we can also classify solutions as bounded or unbounded equilibria and their respective heteroclinics. In both cases, we state necessary and sufficient conditions for the occurrence of heteroclinics between hyperbolic equilibria. The prototype examples are a bounded and unbounded version of the Chafee-Infante attractor.

Décembre 2023

Mardi 19 décembre

11h30 Blanche Buet (LMO, Université Paris-Saclay) - Flagfolds: multi-dimensional varifolds to handle discrete surfaces

Résumé : We propose a natural framework for the study of surfaces and their different discretizations based on varifolds. Varifolds have been introduced by Almgren to carry out the study of minimal surfaces. Though mainly used in the context of rectifiable sets, they turn out to be well suited to the study of discrete type objects as well.

While the structure of varifold is flexible enough to adapt to both regular and discrete objects, it allows to define variational notions of mean curvature and second fundamental form based on the divergence theorem. Thanks to a regularization of these weak formulations, we propose a notion of discrete curvature (actually a family of discrete curvatures associated with a regularization scale) relying only on the varifold structure. We performed numerical computations of mean curvature and Gaussian curvature on point clouds in R^3 to illustrate this approach.

Though flexible, varifolds require the knowledge of the dimension of the shape to be considered. By interpreting the product of the Principal Component Analysis, that is the covariance matrix, as a sequence of nested subspaces naturally coming with weights according to the level of approximation they provide, we are able to embed all d-dimensional Grassmannians into a stratified space of covariance matrices. Building upon the proposed embedding of Grassmannians into the space of covariance matrices, we generalize the concept of varifolds to what we call flagfolds in order to model multi-dimensional shapes.

Joint work with: Gian Paolo Leonardi (Trento), Simon Masnou (Lyon) and Xavier Pennec (INRIA Sophia).

Mardi 5 décembre

11h30 Nicole Spillane (CMAP, CNRS) - GMRES with weighted norms, preconditioning and deflation

Résumé: GMRES is a very well-established iterative solver for general linear systems. It is known that convergence can be accelerated by means of:

preconditioning, i.e., providing the solver with an (easier to compute) approximate of the inverse of A,
deflating, i.e., pre-solving a projected version of the problem,
weighting, i.e., changing the norm that is minimized at each iteration.

I will discuss both how convergence of GMRES can be analyzed theoretically and how this analysis can then be used to choose the accelerators in an efficient manner. Particular focus will be on problems whose symmetric part (A+A*)/2 is positive definite and on symmetric positive definite preconditioners.

Novembre 2023

Mardi 21 novembre

11h30 Elena Gaburro (INRIA Bordeaux) - Structure preserving high order Lagrangian schemes for the solution of hyperbolic equations: from fluid-dynamics to astrophysics

Résumé : In this talk, we present a novel family of high order accurate numerical schemes for the solution of hyperbolic partial differential equations (PDEs) which combines several geometrical and physical structure preserving properties.
Indeed, first, we settle in the Lagrangian framework, where each element of the mesh evolves following as close as possible the local fluid flow, so to reduce the numerical dissipation at contact waves and moving interfaces and to respect the Galilean and rotational invariance of the studied PDEs system. In particular, we choose the direct Arbitrary-Lagrangian-Eulerian setting which, in order to always guarantee the high quality of the moving mesh, allows to combine the Lagrangian motion with mesh optimization techniques. The employed Voronoi tessellation is thus regenerated at each time step, the previous one is connected with the new one by space-time control volumes, including hole-like sliver elements in correspondence of topology changes, over which we integrate a space-time divergence form of the original PDEs through a high order accurate ADER discontinuous Galerkin (DG) scheme [1, 2]. Mass conservation and the respect of the GCL condition are guaranteed by construction thanks to the integration over closed control volumes, and robustness over shock discontinuities is ensured by the use of an a posteriori sub-cell finite volume (FV) limiter.
In addition, our schemes are able to guarantee the exact preservation, up to machine precision, of equilibria [3] and involution constraints: this allows to obtain stable and robust simulations of complex equations as the Einstein field equations of general relativity.

References:
[1] E. Gaburro, W. Boscheri, S. Chiocchetti, M. Dumbser, C. Klingenberg, V. Springel (2020). High order direct Arbitrary-Lagrangian-Eulerian schemes on moving Voronoi meshes with topology changes. Journal of Computational Physics.
[2] E. Gaburro, S. Chiocchetti (2023). High-order Arbitrary-Lagrangian-Eulerian schemes on crazy moving Voronoi meshes. Numerical aspects of hyperbolic balance laws and related problems, Sema Simai, Springer.
[3] E. Gaburro, M.J. Castro, M. Dumbser (2021). A well balanced finite volume scheme for general relativity. SIAM Journal on Scientific Computing.

Acknowledgement: E. Gaburro gratefully acknowledges the support received from the European Union with the ERC Starting Grant ALcHyMiA (No. 101114995).

Mardi 7 novembre

11h30 Charlotte Perrin (I2M Marseille) - Hard congestion limit of the p-system in the BV setting

Résumé : In this talk, I will discuss the transition from a compressible (inviscid) system with singular pressure towards a mixed compressible-incompressible system modeling partially congested dynamics. The
two systems may be used for the modeling of mixtures, of collective motions, or partially free surface flows. From the mathematical point of view, I will present a first convergence result for small BV perturbations of a reference state represented by one or more partially congested propagating fronts.

Octobre 2023

Mardi 24 octobre

11h30 Ibrahim Almuslimani (Inria, Rennes) - Conservative stabilized Runge-Kutta methods for the Vlasov-Fokker-Planck equation

Résumé : In this work, we aim at constructing numerical schemes, that are as efficient as possible in terms of cost and conservation of invariants, for the Vlasov-Fokker-Planck system coupled with Poisson or Ampère equation. Splitting methods are used where the linear terms in space are treated by spectral or semi-Lagrangian methods and the nonlinear diffusion in velocity in the collision operator is treated using a stabilized Runge-Kutta-Chebyshev (RKC) integrator, a powerful alternative of implicit schemes. The new schemes are shown to exactly preserve mass and momentum. The conservation of total energy is obtained using a suitable approximation of the electric field. An H-theorem is proved in the semi-discrete case, while the entropy decay is illustrated numerically for the fully discretized problem. Numerical experiments that include investigation of Landau damping phenomenon and bump-on-tail instability are performed to illustrate the efficiency of the new schemes.

Mardi 10 octobre

11h30 Hélène Hivert (Inria, géosciences Rennes) - Phénomène de concentration dans une équation de Lotka-Volterra parabolique : un schéma multi-échelle

Résumé : On considère l'évolution d'une population structurée en trait phénotypique. La réponse des individus à l'environnement dépend de ce trait, qui est hérité du parent à quelques mutations près. Dans un régime de temps long et de petites mutations, la densité de population se concentre autour de certains traits dominants, qui peuvent évoluer au cours du temps grâce aux mutations. D'un point de vue technique, on effectue une transformation de Hopf-Cole dans le modèle parabolique de départ, pour décrire le phénomène de concentration. Le régime asymptotique est alors une équation de Hamilton-Jacobi avec contrainte [G. Barles, B. Perthame, 2008 & G. Barles, S. Mirrahimi, B. Perthame, 2009], pour laquelle l'unicité de la solution n'a été démontrée que récemment [V. Calvez, K.-Y. Lam, 2020]. Une difficulté de ce problème réside dans le manque de régularité de la contrainte, qui peut présenter des sauts. Les résultats de la littérature relatifs aux équations de Hamilton-Jacobi et à leur approximation numérique tombent en défaut en raison de ce manque de régularité.
On propose un schéma pour ce problème, en considérant l'équation dans laquelle la transformation de Hopf-Cole a été effectuée. On montre que le schéma est convergent pour le problème en dehors du régime asymptotique, et qu'il est stable dans la transition vers le régime asymptotique. On montre ensuite que le schéma obtenu dans le régime asymptotique approche bien l'équation de Hamilton-Jacobi contrainte voulue.

Septembre 2023

Mardi 26 septembre

11h30 Clair Poignard (Inria Center at Bordeaux Université) - Phase-field model of bilipid membrane submitted to pulsed electric field of high intensity

Résumé : In this talk I will present the phenomenon of elctropermeabilization and propose a new model that combines the water content of the membrane and the transmembrane voltage through a nonlocal PDE system. Interestingly, thanks to a well defined free-energy of the membrane, we somehow generalise the seminal approach of Chizmadzhev, Weaver and Krassowska, getting rid of the geometrical cylindrical assumption upon which most of the current electroporation models are based. Our approach is physically relevant and we recover a surface diffusion equation of the lipid phase proposed by Leguèbe et al. in a previous phenomenological model. We also perform a fine analysis of the involved nonlocal operators in two simple configurations (a spherical membrane and a flat periodic membrane) that enables us to compare the time constants of the phenomenon in spherical and flat membranes. This research has been performed with A. Collin (Associate Prof. at Bordeaux INP), and P. Jaramillo-Aguayo, PhD student coadvised by A. Collin and my self.

Juin 2023

Mardi 20 juin

11h00 Stéphane Brull (IMB) - Schémas BGK discrets pour le système d'Euler bitempérature

Résumé : Cet exposé est dédié à l'approximation du système d'Euler bitempérature. Ce modèle est un système hyperbolique non conservatif décrivant un plasma hors équilibre situé en régime quasi-neutre.
La non conservativité provient des produits vitesse gradient de pression et des termes sources. On a alors établi un modèle BGK discret entropie-compatible pour ce système nous permettant de développer des schémas numériques. Dans une première partie, nous présenterons un schéma d'ordre 2 en dimension 2 d'espaces basé sur une discrétisation de type volumes finis. Dans une seconde partie, un schéma de type Galerkin discontinu est développé. Les 2 méthodes sont ensuite implémentées et testées.

Mardi 06 juin

11h30 Guillaume Dujardin (INRIA Lille)

Mai 2023

Mardi 23 mai

11h30 Melanie Koser (HU Berlin) - Asymptotic self-similarity in a model of shape memory alloys

Résumé : We study energy-driven pattern formation in shape memory alloys. Cooling these materials below a critical temperature leads to the formation of martensitic nuclei. Microstructures close to phase boundaries of martensitic nuclei are often modeled variationally. We consider a model by Kohn and Müller (1992 & ’94) and prove asymptotic self-similarity of minimizers. This generalizes results by Conti (2000) to various physically relevant boundary conditions, more general domains, and arbitrary volume fractions of the martensitic variants, including low-hysteresis shape memory alloys. The proof relies on pointwise estimates and local energy scaling laws for minimizers. Based on a joint work with Sergio Conti, Johannes Diermeier and Barbara Zwicknagl.

Mardi 09 mai

11h30 Michael Gfrerer (TU Graz) - A unified approach to shape and topological sensitivity analysis of discretized optimal design problems

Abstract : We introduce a unified sensitivity concept for shape and topological perturbations and perform the sensitivity analysis for a discretized PDE-constrained design optimization problem in two space dimensions. We assume that the design is represented by a piecewise linear and globally continuous level set function on a fixed finite element mesh and relate perturbations of the level set function to perturbations of the shape or topology of the corresponding design. We illustrate the sensitivity analysis for a problem that is constrained by a reaction-diffusion equation and draw connections between our discrete sensitivities and the well-established continuous concepts of shape and topological derivatives. Finally, we verify our sensitivities and illustrate their application in a level-set-based design optimization algorithm where no distinction between shape and topological updates has to be made.

Vendredi 05 mai

14h00 Philippe Moireau (Inria Saclay - LMS) - Théorie des observateurs en assimilation de données. Des ondes à la mécanique cardiaque.Résumé : Dans cet exposé, je présenterai un panorama d’un travail collectif sur la théorie des observateurs comme stratégie d’estimation de problème d’évolution. Sur des problèmes de type "équation des ondes”, nous montrons comment cette approche permet d’utiliser des données mesurées de toutes sortes afin de reconstruire la trajectoire observée et d’estimer la condition initiale ou des paramètres. Nous en faisons l’analyse en combinant conditions d’observabilité et techniques de régularisation de problèmes inverses pour des données bruitées. Les questions de discrétisation et l’analyse numérique seront aussi évoquées ainsi que les questions d’échantillonnage des données. Enfin, nous illustrons l’application de cette approche dans différents cas pratiques, de l'équation des ondes à l’élastodynamique, jusqu’à des applications en modélisation/estimation cardiaque qui ont initialement motivé notre approche.

Avril 2023

Mardi 04 avril

11h30 Raphaèle Herbin (Aix-Marseille Université - I2M) - Maillages décalés et théorème de Lax-Wendroff

Résumé : La notion de consistance au sens de Lax-Wendroff (LW-consistance) est importante pour les applications pratiques en simulation d'écoulement de fluides. Dans de nombreux cas d'intérêt, des résultats plus forts de convergence sont hors de portée, et la LW-consistance permet d'aider à la conception mathématique des schémas numériques. C'est par exemple le cas pour les écoulements multidimensionnels gouvernés par des systèmes hyperboliques, tels que les équations d'eau peu profonde, les équations d'Euler ou les modèles pour les écoulements multiphasiques.

Les maillages décalés sont utilisés dans les codes de sûreté nucléaire développés par l'IRSN depuis plus de 15 ans pour la simulation numérique de problèmes d'écoulement de type hyperbolique, et sont maintenant couramment utilisés pour des applications de sécurité industrielle telles que les problèmes d'explosion d'hydrogène, pour des écoulements non visqueux ou au moins de viscosité négligeable.

Nous montrons ici comment les hypothèses de Lax et Wendroff peuvent être généralisés à des maillages décalés pour obtenir un résultat de LW consistance.

Mars 2023

Vendredi 24 mars

11h00 Victorita Dolean (Université Côte d'Azur - LJAD) - Méthodes de résolution rapide pour les problèmes de propagation d'ondes : des solveurs de décomposition de domaine classiques à l'apprentissage

Résumé : Les problèmes de propagation d'ondes sont d'une importance capitale dans de nombreuses applications scientifiques et techniques - par exemple, en imagerie sismique et médicale et plus généralement en acoustique et électromagnétisme. Les simulations à grande échelle de ces applications sont l'un des problèmes les plus difficiles du point de vue algorithmique car elles nécessitent une interaction entre les méthodes de discrétisation parcimonieuses mais suffisamment précises et les méthodes de résolution plus sophistiquées. Notre objectif est de montrer d'une part, comment les méthodes classiques de décomposition de domaine développées ces dernières années couplées à des discrétisations soigneusement choisies peuvent aider dans cette entreprise. Des aspects théoriques, numériques et applicatifs vont être abordés, en soulignant les limitations de la théorie et les classes des problèmes qu’on peut traiter avec les outils actuels. D'autre part, nous voudrions proposer quelques ouvertures vers le package très attractif approximation-solution-optimisation offert par les nouvelles méthodes d'apprentissage automatique scientifique.

Les différents volets de l’exposé sont le résultat des collaborations avec : M. Bonazzoli, N. Bootland, I. Graham, F. Hecht, A. Heinlein, P. Jolivet, C. Ma, S. Mishra, B. Moseley, F. Nataf, S. Operto, F. Rapetti, R. Scheichl, E. Spence, P.-H. Tournier et ont bénéficié des financements ANR, EPSRC et du consortium WIND (Waveform Inversion for Node Data).

Mardi 21 mars

11h30 Jimmy Lamboley (Sorbonne Université - IMJ PRG) - Contrainte de convexité en optimisation de forme et applications à la stabilité

Résumé : Dans cet exposé, on regarde des problèmes de calcul de variation et d’optimisation de forme sous contrainte de convexité. Ces problèmes sont encore très incompris, comme le montre le célèbre problème de résistance minimale de Newton.
On présentera une théorie de régularité sous contrainte de convexité, qui s’applique notamment à des problèmes de type isopérimétriques. On montrera comment ces résultats permettent de montrer des inégalités quantitatives dans la classe des corps convexes. Ce travail est une collaboration avec Raphaël Prunier.

Mardi 14 mars

11h30 Anaïs Crestetto (Université de Nantes - LMJL) - Schémas numériques pour l'équation de Vlasov collisionnelle en régime de rayon de Larmor fini

Résumé : Ce travail porte sur la construction de schémas numériques multi-échelles pour l'équation de Vlasov collisionnelle en régime de rayon de Larmor fini. Le système considéré a été étudié dans l'article de Bostan et Finot (2019) et met en jeu deux régimes : fortement oscillatoire et dissipatif, dont les limites ne commutent pas. Dans notre travail, nous nous intéressons à une approche numérique basée sur la méthode Particle-In-Cell et différents intégrateurs en temps. Les schémas construits vérifient de bonnes propriétés asymptotiques, qui sont illustrées numériquement. Ce travail a été effectué en collaboration avec Nicolas Crouseilles et Damien Prel.

Février 2023

Mardi 21 février

11h30 Martin Vohralík (Inria Paris) - A posteriori error estimates robust with respect to the strength of nonlinearities

Résumé : A posteriori estimates enable to certify the error committed in a numerical approximation of a partial differential equation. In particular, for linear model problems, the equilibrated flux reconstruction technique yields a computable guaranteed upper bound on the unknown error which is robust. Here robust means that the overestimation factor (effectivity index) is uniformly bounded in all situations: for all problem data, domain size and shape, regular or singular exact solution, as well as for all combinations of the two basic discretization parameters – the number of mesh elements (mesh size h) and the polynomial degree p.

This talk addresses nonlinear problems, where standard approaches do not give estimates robust with respect to the strength of the nonlinearities (the overestimation factor increases when the problem is more and more nonlinear). We present two methodologies that give robustness for nonlinear Lipschitz-continuous and strongly monotone elliptic problems. Our estimates include, and build on, common iterative linearization schemes such as Zarantonello, Picard, Newton, or M- and L-ones. We either estimate the energy difference that we augment by the discretization error of the current linearization step, or we design iteration-dependent norms that feature weights given by the current linearization iterate. Numerical experiments illustrate the theoretical findings, with the overestimation factors close to the optimal value of one for any strength of the nonlinearities.

Janvier 2023

Mardi 24 janvier

11h30 Pauline Lafitte (CentraleSupélec) - Estimations uniformes pour une discrétisation naïve de l’équation de la chaleur avec condition aux limites de Neumann

Résumé : La discrétisation la plus simple de la condition de Neumann au bord d’un segment pour l’équation de la chaleur instationnaire ou stationnaire n’est pas consistante. Cependant, des tests numériques tendent à montrer qu’un schéma d’Euler explicite pour l’équation instationnaire converge.
Dans ce travail mené avec Guillaume Dujardin, on montre la convergence uniforme en temps à l'ordre 1/2 pour ce schéma, sous une condition classique de stabilité. Cet ordre de convergence fractionnaire est par ailleurs également celui obtenu numériquement.

Vendredi 20 janvier (séance exceptionnelle)

10h00 Guglielmo Scovazzi (Duke University) - The Shifted Boundary / Shifted Fracture Method for Computational Mechanics

Résumé : Embedded/immersed/unfitted boundary methods obviate the need for continual re-meshing in many applications involving rapid prototyping and design. Unfortunately, many finite element embedded boundary methods (cutFEM, Finite Cell Method, etc. ) are also difficult to implement due to: (a) the need to perform complex cell cutting operations at boundaries, (b) the necessity of specialized quadrature formulas, and (c) the consequences that these operations may have on the overall conditioning/stability of the ensuing algebraic problems.

We present a new, stable, and simple embedded boundary method, named “Shifted Boundary Method” (SBM), which eliminates the need to perform cell cutting. Boundary conditions are imposed on a surrogate discrete boundary, lying on the interior of the true boundary interface. We then construct appropriate field extension operators by way of Taylor expansions, with the purpose of preserving accuracy when imposing the boundary conditions. We demonstrate the SBM in applications involving solid and fracture mechanics; thermomechanics; CFD and porous media flow problems.

In the specific case of fracture mechanics, the SBM takes the name of Shifted Fracture Method (SFM), which can be thought of a method with the data structure of classical cohesive fracture FEM but with the accuracy and mesh-independence properties of XFEM. We show how the SFM has superior accuracy in capturing the energy released during the fracture process and how the method can be combined with phase-field approaches to simulate crack branching and merging.

Mardi 10 janvier

11h30 Cinzia Soresina (University of Graz) - Cross-diffusion systems in population dynamics: derivation, bifurcations and patter formation

Résumé : In population dynamics, cross-diffusion describes the influence of one species on the diffusion of another. The cross-diffusion SKT model was proposed to account for stable inhomogeneous steady states exhibiting spatial segregation of two competing species. Even though the reaction part does not present the activator-inhibitor structure, the cross-diffusion terms are the key ingredient for the appearance of spatial patterns. We provide a deeper understanding of the conditions required for non-homogeneous steady states to exist, focusing on multistability regions and on the presence of time-periodic spatial patterns, by combining a detailed linearised and weakly non-linear analysis with advanced numerical bifurcation methods via the continuation software pde2path [1,2].

Even though the particular form of cross-diffusion terms in the SKT model may seem artificial, they naturally incorporates processes occurring at different time scales. It can be easily seen, at least at a formal level, that cross-diffusion appears in the fast-reaction limit of a "microscopic" model (in terms of time scales) presenting only standard diffusion and fast-reaction terms. The same approach can also be exploited in other contexts, e.g. predator-prey interactions, plant ecology and epidemiology.

[1] M. Breden, C. Kuehn, C. Soresina, On the influence of cross-diffusion in pattern formation, Journal of Computational Dynamics, 8(2):21, 2021.

[2] C. Soresina, Hopf bifurcations in the full SKT model and where to find them, Discrete and Continuous Dynamical Systems - S, 15(9):2673-2693, 2022.

Décembre 2022

Mardi 06 décembre

11h Quentin Mérigot (Université Paris-Saclay) - Convergence d'algorithmes pour le problème de quantification optimale uniforme

Résumé : En apprentissage automatique et en problèmes inverses, il est parfois nécessaire de générer ou de déformer un nuage de points de sorte à approcher une mesure de probabilité modèle $\rho$. Une manière naturelle d'y parvenir est de chercher à minimiser la distance de Wasserstein de la mesure uniforme sur le nuage de points par rapport à la distribution modèle :

$$ \min_{y_1,\dots,y_N\in\mathbb{R}^N} F(y_1,\dots,y_N) := \mathrm{W_2}\left(\frac{1}{N}\sum_{1\leq i\leq N}\delta_{y_i},\rho\right).$$

Ce problème de minimisation, dans lequel les inconnues sont les positions des atomes, n'est pas convexe et il admet des points critiques dont l'énergie est beaucoup plus grande que celle du minimiseur. Pourtant, très souvent, les méthodes de descente de gradient mènent à des configurations présentant une énergie faible. Nous expliquons quantitativement ce comportement, en montrant en particulier que si les points initiaux ne sont pas trop proches les uns des autres, alors une seule étape de l'algorithme de Lloyd est suffisante pour obtenir une bonne approximation de la mesure approchée (collaboration avec Filippo Santambrogio et Clément Sarrazin). Je parlerai également d'un résultat plus récent, qualitatif, montrant en dimension $d=2$ que l'énergie de quantification des points critiques stables de l'énergie est en réalité commensurable à l'énergie du minimiseur (collaboration avec Alessio Figalli et Filippo Santambrogio).

Novembre 2022

Mardi 22 novembre

10h T. J. Sullivan (University of Warwick and Alan Turing Institute) - An order-theoretic perspective on modes and MAP estimation

Résumé : It is often the case in statistics, machine learning, inverse problems, and the analysis of random dynamical systems that one wishes to summarise a complicated probability measure on a space $X$ in terms of a mode, or MAP estimator, i.e. a point of maximum probability. In modern applications, the space $X$ is often a function or metric space, and so one cannot reason in terms of Lebesgue densities. Fortunately, modes can be rigorously defined using masses of metric balls in the small-radius limit. However, the theory is not entirely straightforward: the literature contains many notions of mode and various examples of pathological measures that have no mode in any known sense. Since the masses of balls induce natural orderings on the points of $X$, we will try to shed light on some of the problems in non-parametric MAP estimation by taking an order-theoretic perspective, which appears to be a new one in the inverse problems community. This point of view opens up attractive proof strategies based upon the Cantor and Kuratowski intersection theorems; it also reveals that many of the pathologies arise from the distinction between greatest and maximal elements of an order, and from the existence of incomparable elements of $X$, which we show can be dense in $X$, even for an absolutely continuous measure on $X = \mathbb{R}$.

Joint work with Hefin Lambley (Warwick).

11h15 François Alouges (ENS Paris-Saclay) - Opérateur Dirichlet-Neumann, normes $H^{1/2}$, applications au préconditionnement

Résumé : Lors de la résolution numérique de problèmes aux limites, l’opérateur de Dirichlet-Neumann (DtN) intervient dans de nombreuses méthodes. On peut citer les méthodes de décomposition de domaine, les conditions absorbantes, ou bien le préconditionnement d’équations intégrales. Sur des géométries lisses, une méthode populaire consiste à écrire l’opérateur DtN comme la racine carrée d’un opérateur différentiel de type “Laplace Beltrami”, et éventuellement des termes de courbures locaux. La généralisation de telles formules au contexte de variétés singulières (à bords) comme des polygones en 2D ou des écrans en 3D est un domaine actif de recherche. On présentera une nouvelle approche dans laquelle un rôle central est donné à un opérateur de type Laplacien à poids. Des applications au préconditionnement d’équations intégrales, en 2D et 3D, seront aussi montrées.

Ce travail est une collaboration avec Martin Averseng.

Mardi 08 novembre

11h Idriss Mazari (CEREMADE) - Optimisation de formes & contrôle optimal: contrôle bilinéaire versus contrôle linéaire

Résumé :

Le contrôle optimal d’équations elliptiques ou paraboliques est un sujet classique et important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats sur une question qualitative qui apparaît dans de nombreuses applications, notamment en biologie: supposons que l’on se donne un opérateur, elliptique ou parabolique, noté L, une non-linéarité f=f(t,x,u), abrégée en f(u), et un couplage $\phi$(y,u)$ entre le contrôle y et l’état u. L’équation d’état est donnée par

L u= f(u)+$\phi$(y,u).

On se donne une fonctionnelle de coût de la forme

J(y)= $\int j(u) $

où l’intégrale est en espace, ou en espace et en temps, et où j peut également dépendre de x et t. La classe de contrôles admissibles est donnée par

$Y := \{0\leq y \leq 1, \ \int_\Omega y = V_0 \}$c’est-à-dire par une contrainte $L^\infty$ et une contrainte $L^1$. Enfin, le problème de contrôle optimal est

$\max_{y\in Y}J(y).$

Une question naturelle est alors de savoir si les contrôle d’optimaux $y^*$ sont bang-bang, c’est-à-dire s’ils valent 0 ou 1 presque sûrement, ou si, au contraire, ils peuvent comporter des zones “anormales”, où ils prennent des valeurs entre (0;1). D’un point de vue théorique aussi bien que numérique, cette question a son importance. Je parlerai de deux classes de résultats:

1) D’abord, pour les contrôles bilinéaires, c’est-à-dire avec $\phi$(y,u)=yu, je présenterai des travaux en collaboration avec G. Nadin et Y. Privat, qui indiquent que, si la fonctionnelle J est croissante ($y \leq y'$ implique $J(y) \leq J(y')$), alors la propriété bang-bang est satisfaite, indépendamment des propriétés de concavité ou convexité de la non-linéarité f. Ces résultats constituent un analogue “contrôle” du théorème de Buttazzo-DalMaso.

2) Ensuite, pour les contrôles linéaires, c’est-à-dire avec $\phi$(y,u)=y, je présenterai des résultats obtenus avec G. Nadin et A. Toledo-Marrero qui montrent que la concavité de la non-linéarité f devient critique. J’expliquerai comment des développements multi-échelles nous permettent alors d’obtenir des informations plus fines sur le comportement des optimiseurs sur la zone anormale.

Octobre 2022

Mardi 18 octobre

11h Maxime Herda (Inria Lille) - Analysis of a numerical scheme for a nonlocal cross-diffusion system

Résumé : In this talk, I will consider a nonlocal version of the Shigesada-Kawazaki-Teramoto (SKT) cross-diffusion system. Despite the nonlocality, this system has interesting entropy dissipation properties, which allow us to design a robust and convergent numerical scheme for its numerical simulation. From the numerical analysis point of view, I will present discrete compactness techniques, entropy-dissipation estimates and a new adaptation of the so-called duality estimates for parabolic equations in Laplacian form. I will also present numerical experiments illustrating the influence of the nonlocality in the system: on convergence properties, as an approximation of the local system and on the development of diffusive instabilities. This is a joint work with Antoine Zurek (UTC).