Séminaire du Pôle Probabilités

Lieu : nouvelle salle de conférence du CMAP (salle 3005, dernier étage, aile 05 - soit le long couloir perpendiculaire à l’aile 0)

Horaire : un mardi sur deux, de 10h à 11h

Remarque : aux mêmes dates et dans la même salle, à 11h30, a lieu le séminaire du pôle Analyse.

Les organisateurs : Quentin Cormier, Stefano De Marco, Fabrice Djete, Clément Foucart, Cyril Marzouk & Milica Tomasevic
(à contacter à l'alias orga-seminaire-pole-proba "at" meslistes.polytechnique.fr)

Décembre 2024

Mardi 17 décembre

Paul Gassiat (Paris Dauphine) - Un flot de gradient sur l'espace des contrôles avec condition initiale irrégulière

On considère un problème de contrôle consistant à trouver une trajectoire reliant un point initial x à un point cible y, le système se déplaçant uniquement dans certaines directions admissibles. On suppose que les champs de vecteurs correspondants satisfont la condition de Hörmander, de telle sorte que par un théorème classique (Chow-Rashevskii), il existe des trajectoires qui satisfont cette contrainte. Une manière naturelle d'essayer de résoudre ce problème est via un flot de gradient sur l'espace des contrôles. Cependant, la dynamique correspondante peut avoir des point-selles, et pour obtenir un résultat de convergence il faut donc faire des hypothèses (par exemple probabilistes) sur la condition initiale. Dans ce travail, nous considérons le cas où cette initialisation est irrégulière, que nous formulons grâce à la théorie des trajectoires rugueuses de Lyons. Dans des cas simples, on prouve que le flot de gradient converge vers une solution, si la condition initiale est une trajectoire d'un mouvement Brownien (ou d'un processus de régularité plus faible). La preuve combine des idées de calcul de Malliavin avec des inégalités de Łojasiewicz. Une motivation possible pour nos travaux vient de l'entraînement de réseaux de neurones résiduels profonds, dans un régime où le nombre de paramètres par couche est fixé, et la dimension du vecteur de données est élevée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Florin Suciu (Paris Dauphine).

Janvier 2025

Mardi 07 janvier

Eva Loecherbach (Univ Paris 1) - Propagation du chaos conditionnelle pour des systèmes de particules avec des sauts stables

Nous considérons des systèmes de particules évoluant dans R en interactions de type champs moyen. Chaque particule saute avec un taux de saut dépendant de sa position. Lorsqu'elle saute, elle distribue une quantité aléatoire qui est rajouté à l'état de toutes les autres particules (sauts collatéraux) tandis que la particule même change également de position (grand saut). Ce modèle est inspiré par les neurosciences (les particules étant les neurones représentés par leur potentiel de membrane, et les sauts collatéraux étant les poids synaptiques des neurones pré-synaptiques sur ceux qui sont post-synaptiques, et enfin, les grands sauts correspondants à la remise à un potentiel de repos du neurone après le spike). Dans le travail que je vais exposer je me concentre sur le cas où les sauts collatéraux sont aléatoires et appartiennent au domaine d'attraction d'une loi stable. Je vais discuter les limites en grande population (limite de champ moyen) de tels systèmes et expliquer la forme précise de l'équation limite. Ensuite je montrerai comment une approche par couplage nous permet d'obtenir une vitesse de convergence forte. C'est un travail en collaboration avec Dasha Loukianova (Evry) et Elisa Marini (Padova/Dauphine).

Mardi 21 janvier

Guilherme Ost

Février 2025

Mardi 04 février

Mardi 18 février

Mars 2025

Mardi 04 mars

Mardi 18 mars

Avril 2025

Mardi 1 avril

Mardi 29 avril

Mai 2025

Mardi 13 mai

Mardi 27 mai

Juin 2025

Mardi 10 juin

Mardi 24 juin

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Anciens séminaires

Décembre 2024

Mardi 03 décembre

Mehdi Talbi (Univ. Paris Cité) - Control of Volterra-type dynamics and applications to contract theory

We focus on the optimal control of a class of stochastic Volterra integral equations. Here the coefficients are regular and not assumed to be of convolution type. We show that, under mild regularity assumptions, these equations can be lifted in a Sobolev space, whose Hilbertian structure allows us to attack the problem through a dynamic programming approach. We are then able to use the theory of viscosity solutions on Hilbert spaces to characterize the value function of the control problem as the unique solution of a parabolic equation on Sobolev space. As a by-product of our analysis, we obtain a new Markovian approximation for Volterra-type dynamics.

In our framework, we are able to study a special class of Principal-Agent problems, where the Agent is subject to a certain form of time-inconsistency. In particular, we are able to formulate the Principal’s problem as an optimal control problem with stochastic target constraints on a Sobolev space and to formally derive the corresponding dynamic programming equation.

This is a joint work with Dylan Possamaï (ETH Zürich).

Novembre 2024

Mardi 19 Novembre

Marek Kimmel (Rice University, Houston, Etats-Unis) - Estimating Past Events in Cancer Through Stochastic Modeling of DNA Sequencing Data

The starting point of stochastic modeling of cancer is branching evolution, in which cells share similar growth and mutation rates (the clonal phase). Later, some cells acquire mutations in their DNA that may grant a selective advantage to the subclones initiated by these cells (they grow faster or die slower), so that the tumor is now composed of distinct clusters of cells. We discuss briefly mathematical and computational approaches to such modeling, based on models of population genetics (such as the coalescent of Griffiths-Tavaré) and branching processes (Lambert and Durrett’s approach).

The inference task is estimation of evolutionary parameters based on one snapshot in time (DNA sample from one time point). The emphasis is on arrival times of sub-clones and their growth rates with mutation rates variability confounding the estimates. We derived estimating equations, which can be solved and, although simplified, allow insights into estimability. We illustrate the considerations with simulated and data-based examples, which link outcomes of such estimations to screening for early cancer detection and resulting decision-making.

One of the great hopes of cancer research is single-cell DNA sequencing which, in theory, allows direct visualization of the pedigrees of clones in a tumor. For various reason, this promise is still awaiting fulfillment. One of the difficulties is resolving clones initiated by advantageous mutants from those arising from random fluctuations, as in the “jackpot” effect, observed already in 1940’s by Luria and Delbrűck. We developed a method based on Tibshirani clustering that seems to be resulting in less misclassification than some others. Results will be presented.

Another important aspect is that human cancers frequently have prominent spatial structure. One example is urinary bladder cancer. The underlying organ is a roughly spherical ball. Based on a unique collection of whole organ specimens, we can obtain insight into order and timing of mutations in this specific case, using a parsimonious approach based on branching processes with immigration model.

Collaborators (order idiosyncratic): Andrew Koval, Emmanuel Asante, Ren-Yi Wang (Rice U.), Khanh Ngoc Dinh and Simon Tavaré (Columbia U.), Bogdan Czerniak and Peng Wei (MD Anderson), Roman Jaksik, Monika Kurpas, and Pawel Kuś (Silesian Tech.), Olga Gorlova and Ivan Gorlov (Baylor College of Medicine).

Mardi 5 Novembre

Arno Siri-Jégousse (UNAM Mexique) - Évolution et généalogies de populations autosimilaires

Dans ce projet conjoint avec Alejandro H. Wences, nous connectons les domaines de la génétique des populations mathématique et des processus de Markov auto-similaires (AS) en dimensions infinies. Plus précisément, nous proposons un changement de perspective depuis la propriété de branchement comme paradigme dominant pour la modélisation des populations, vers une approche basée sur la propriété d'auto-similarité, que nous avons également introduite pour la première fois dans le contexte des processus stochastiques à valeurs dans l'espace des mesures positives (PVM). En étendant la transformation de Lamperti pour les processus auto-similaires au cas en dimensions infinies, nous avons pu généraliser le célèbre résultat de Birkner et al. (2005) en génétique des populations. Dans ce papier, les auteurs et autrices décrivent la généalogie de populations modélisées par un PVM de branchement alpha-stable, en termes de Beta-coalescents. Dans notre travail. nous décrivons la généalogie de populations dont la taille totale décrit un processus de Markov positif et AS en termes de n'importe quel Lambda-coalescent. Nos résultats démontrent le potentiel de la perspective de l'auto-similarité pour l'étude de modèles de populations plus complexes dans lesquels la dynamique de reproduction des individus dépend de la taille totale de la population. Parallèlement, les PVM, associés aux outils analytiques disponibles dans le domaine de la génétique des populations, comme les méthodes de dualité, constituent un modèle mathématique prometteur pour le développement de la théorie des processus de Markov AS dans le contexte des dimensions infinies.

Octobre 2024

Mardi 22 Octobre

Michael Goldman (CMAP)- Recent progress on the optimal matching problem

In this talk I will review some recent progress in the understanding of the (random) optimal matching problem. While the work of Ajtai-Komlos-Tusnady in the 80's on this classical optimization problem attracted a lot of attention from the probability community (see the book by Talagrand), this problem has seen a renewed interest from the PDE community thanks to the ansatz proposed by Caracciolo Lucibello, Parisi and Sicuro in 2014. I will explain to which extent this ansatz can be rigorously justified and show how it leads to a deeper understanding of this problem.