Séminaire du Pôle Probabilités

Lieu : nouvelle salle de conférence du CMAP (salle 3005, dernier étage, aile 05 - soit le long couloir perpendiculaire à l’aile 0)

Horaire : un mardi sur deux, de 10h à 11h

Remarque : aux mêmes dates et dans la même salle, à 11h30, a lieu le séminaire du pôle Analyse.

Les organisateurs : Quentin Cormier, Stefano De Marco, Fabrice Djete, Clément Foucart, Cyril Marzouk & Milica Tomasevic
(à contacter à l'alias orga-seminaire-pole-proba "at" meslistes.polytechnique.fr)

Mai 2025

Mardi 27 mai

Ahmed Kebaier (Université d'Evry) Approximation of Stochastic Volterra Équations with kernels of completely monotone type.

In this work, we develop a multifactor approximation for d-dimensional Stochastic Volterra Equations (SVE) with Lipschitz coefficients and kernels of completely monotone type that may be singular. First, we prove an L2-estimation between two SVEs with different kernels, which provides a quantification of the error between the SVE and any multifactor Stochastic Differential Equation (SDE) approximation. For the particular rough kernel case with Hurst parameter lying in (0,1/2), we propose various approximating multifactor kernels, state their rates of convergence and illustrate their efficiency for the rough Bergomi model. Second, we study a Euler discretization of the multifactor SDE and establish a convergence result towards the SVE that is uniform with respect to the approximating multifactor kernels. These obtained results lead us to build a new multifactor Euler scheme that reduces significantly the computational cost in an asymptotic way compared to the Euler scheme for SVEs. Finally, we show that our multifactor Euler scheme outperforms the Euler scheme for SVEs for option pricing in the rough Heston model.

Juin 2025

Mardi 10 juin

Clément Foucart (Université Sorbonne Paris Nord) - Processus de branchement avec compétition en temps et espace continus et conditionnement à la non-extinction

L'étude du conditionnement à la non-extinction est un thème fondamental de la théorie des processus de branchement. La propriété de branchement permet une étude complète du processus conditionné. En particulier, un terme d'immigration indépendante apparait et s'interprète comme la lignée d'un individu immortel. Lorsqu'un terme de compétition quadratique est ajouté dans la dynamique initiale, la propriété de branchement est brisée et toute la structure classique qui en découle est mise à mal. L'objectif de cet exposé est de présenter une méthode explicite pour conditionner les processus de branchement avec compétition quadratique (branchement logistique, Lambert 2005). Nous montrerons qu'il existe une équivalence entre l'extinction de la population et la finitude de la progéniture totale (c'est-à-dire le nombre total d'individus ayant vécu). Le conditionnement que nous proposons est alors défini en imposant à la progéniture totale de dépasser des variables aléatoires exponentielles arbitrairement grandes. Le processus ainsi conditionné peut être relié au processus initial par une h-transformée de Doob explicite. Nous caractérisons ce processus conditionné comme la solution faible d'une équation stochastique à sauts, où un terme d'immigration dépendant de la taille vient s'ajouter à la dynamique de branchement avec compétition. Comme pour le processus de branchement classique, le processus conditionné peut démarrer à partir de zéro (qui s'interprète alors comme l'individu immortel).
Ce travail est en collaboration avec Anita Winter et Victor Rivero.

Mardi 24 juin

Charlotte Dion-Blanc (Sorbonne Université) - Nonparametric Estimation for Hawkes Diffusion Systems

In this work, we study a diffusion process with jumps driven by a Hawkes process, where the intensity follows a piecewise deterministic Markov process. We begin by exploring the probabilistic properties of the system. Next, we focus on the nonparametric estimation of the coefficients in the associated stochastic differential equation (SDE), based on the minimization of various empirical contrast functions. In addition, we propose a kernel density estimation method to estimate the invariant density of the joint process formed by the diffusion component and the intensity process.
This step is essential due to the potential applications of the model. Our results are compared to those obtained for the estimation of the invariant density of a Lévy process.

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Anciens séminaires

Octobre 2024

Mardi 22 Octobre

Michael Goldman (CMAP) - Recent progress on the optimal matching problem

In this talk I will review some recent progress in the understanding of the (random) optimal matching problem. While the work of Ajtai-Komlos-Tusnady in the 80's on this classical optimization problem attracted a lot of attention from the probability community (see the book by Talagrand), this problem has seen a renewed interest from the PDE community thanks to the ansatz proposed by Caracciolo Lucibello, Parisi and Sicuro in 2014. I will explain to which extent this ansatz can be rigorously justified and show how it leads to a deeper understanding of this problem.

Novembre 2024

Mardi 5 Novembre

Arno Siri-Jégousse (UNAM Mexique) - Évolution et généalogies de populations autosimilaires

Dans ce projet conjoint avec Alejandro H. Wences, nous connectons les domaines de la génétique des populations mathématique et des processus de Markov auto-similaires (AS) en dimensions infinies. Plus précisément, nous proposons un changement de perspective depuis la propriété de branchement comme paradigme dominant pour la modélisation des populations, vers une approche basée sur la propriété d'auto-similarité, que nous avons également introduite pour la première fois dans le contexte des processus stochastiques à valeurs dans l'espace des mesures positives (PVM). En étendant la transformation de Lamperti pour les processus auto-similaires au cas en dimensions infinies, nous avons pu généraliser le célèbre résultat de Birkner et al. (2005) en génétique des populations. Dans ce papier, les auteurs et autrices décrivent la généalogie de populations modélisées par un PVM de branchement alpha-stable, en termes de Beta-coalescents. Dans notre travail. nous décrivons la généalogie de populations dont la taille totale décrit un processus de Markov positif et AS en termes de n'importe quel Lambda-coalescent. Nos résultats démontrent le potentiel de la perspective de l'auto-similarité pour l'étude de modèles de populations plus complexes dans lesquels la dynamique de reproduction des individus dépend de la taille totale de la population. Parallèlement, les PVM, associés aux outils analytiques disponibles dans le domaine de la génétique des populations, comme les méthodes de dualité, constituent un modèle mathématique prometteur pour le développement de la théorie des processus de Markov AS dans le contexte des dimensions infinies.

Mardi 19 Novembre

Marek Kimmel (Rice University, Houston, Etats-Unis) - Estimating Past Events in Cancer Through Stochastic Modeling of DNA Sequencing Data

The starting point of stochastic modeling of cancer is branching evolution, in which cells share similar growth and mutation rates (the clonal phase). Later, some cells acquire mutations in their DNA that may grant a selective advantage to the subclones initiated by these cells (they grow faster or die slower), so that the tumor is now composed of distinct clusters of cells. We discuss briefly mathematical and computational approaches to such modeling, based on models of population genetics (such as the coalescent of Griffiths-Tavaré) and branching processes (Lambert and Durrett’s approach).

The inference task is estimation of evolutionary parameters based on one snapshot in time (DNA sample from one time point). The emphasis is on arrival times of sub-clones and their growth rates with mutation rates variability confounding the estimates. We derived estimating equations, which can be solved and, although simplified, allow insights into estimability. We illustrate the considerations with simulated and data-based examples, which link outcomes of such estimations to screening for early cancer detection and resulting decision-making.

One of the great hopes of cancer research is single-cell DNA sequencing which, in theory, allows direct visualization of the pedigrees of clones in a tumor. For various reason, this promise is still awaiting fulfillment. One of the difficulties is resolving clones initiated by advantageous mutants from those arising from random fluctuations, as in the “jackpot” effect, observed already in 1940’s by Luria and Delbrűck. We developed a method based on Tibshirani clustering that seems to be resulting in less misclassification than some others. Results will be presented.

Another important aspect is that human cancers frequently have prominent spatial structure. One example is urinary bladder cancer. The underlying organ is a roughly spherical ball. Based on a unique collection of whole organ specimens, we can obtain insight into order and timing of mutations in this specific case, using a parsimonious approach based on branching processes with immigration model.

Collaborators (order idiosyncratic): Andrew Koval, Emmanuel Asante, Ren-Yi Wang (Rice U.), Khanh Ngoc Dinh and Simon Tavaré (Columbia U.), Bogdan Czerniak and Peng Wei (MD Anderson), Roman Jaksik, Monika Kurpas, and Pawel Kuś (Silesian Tech.), Olga Gorlova and Ivan Gorlov (Baylor College of Medicine).

Décembre 2024

Mardi 03 décembre

Mehdi Talbi (Univ. Paris Cité) - Control of Volterra-type dynamics and applications to contract theory

We focus on the optimal control of a class of stochastic Volterra integral equations. Here the coefficients are regular and not assumed to be of convolution type. We show that, under mild regularity assumptions, these equations can be lifted in a Sobolev space, whose Hilbertian structure allows us to attack the problem through a dynamic programming approach. We are then able to use the theory of viscosity solutions on Hilbert spaces to characterize the value function of the control problem as the unique solution of a parabolic equation on Sobolev space. As a by-product of our analysis, we obtain a new Markovian approximation for Volterra-type dynamics.

In our framework, we are able to study a special class of Principal-Agent problems, where the Agent is subject to a certain form of time-inconsistency. In particular, we are able to formulate the Principal’s problem as an optimal control problem with stochastic target constraints on a Sobolev space and to formally derive the corresponding dynamic programming equation.

This is a joint work with Dylan Possamaï (ETH Zürich).

Mardi 17 décembre

Paul Gassiat (Paris Dauphine) - Un flot de gradient sur l'espace des contrôles avec condition initiale irrégulière

On considère un problème de contrôle consistant à trouver une trajectoire reliant un point initial x à un point cible y, le système se déplaçant uniquement dans certaines directions admissibles. On suppose que les champs de vecteurs correspondants satisfont la condition de Hörmander, de telle sorte que par un théorème classique (Chow-Rashevskii), il existe des trajectoires qui satisfont cette contrainte. Une manière naturelle d'essayer de résoudre ce problème est via un flot de gradient sur l'espace des contrôles. Cependant, la dynamique correspondante peut avoir des point-selles, et pour obtenir un résultat de convergence il faut donc faire des hypothèses (par exemple probabilistes) sur la condition initiale. Dans ce travail, nous considérons le cas où cette initialisation est irrégulière, que nous formulons grâce à la théorie des trajectoires rugueuses de Lyons. Dans des cas simples, on prouve que le flot de gradient converge vers une solution, si la condition initiale est une trajectoire d'un mouvement Brownien (ou d'un processus de régularité plus faible). La preuve combine des idées de calcul de Malliavin avec des inégalités de Łojasiewicz. Une motivation possible pour nos travaux vient de l'entraînement de réseaux de neurones résiduels profonds, dans un régime où le nombre de paramètres par couche est fixé, et la dimension du vecteur de données est élevée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Florin Suciu (Paris Dauphine).

Janvier 2025

Mardi 07 janvier

Eva Loecherbach (Univ Paris 1) - Propagation du chaos conditionnelle pour des systèmes de particules avec des sauts stables

Nous considérons des systèmes de particules évoluant dans R en interactions de type champs moyen. Chaque particule saute avec un taux de saut dépendant de sa position. Lorsqu'elle saute, elle distribue une quantité aléatoire qui est rajouté à l'état de toutes les autres particules (sauts collatéraux) tandis que la particule même change également de position (grand saut). Ce modèle est inspiré par les neurosciences (les particules étant les neurones représentés par leur potentiel de membrane, et les sauts collatéraux étant les poids synaptiques des neurones pré-synaptiques sur ceux qui sont post-synaptiques, et enfin, les grands sauts correspondants à la remise à un potentiel de repos du neurone après le spike). Dans le travail que je vais exposer je me concentre sur le cas où les sauts collatéraux sont aléatoires et appartiennent au domaine d'attraction d'une loi stable. Je vais discuter les limites en grande population (limite de champ moyen) de tels systèmes et expliquer la forme précise de l'équation limite. Ensuite je montrerai comment une approche par couplage nous permet d'obtenir une vitesse de convergence forte. C'est un travail en collaboration avec Dasha Loukianova (Evry) et Elisa Marini (Padova/Dauphine).

Mardi 21 janvier

Guilherme Ost (Univ. Federal do Rio de Janeiro) - Binary graphical models with mean-field interactions: community detection and dependence graph density estimation

We consider a system of binary interacting chains describing the dynamics of a group of N individuals that, at each time unit, either send some signal to the others or remain silent otherwise. The interactions among the chains are encoded by a directed Erdös-Rényi random graph with unknown parameter 0<p<1. Moreover, the system is structured within two populations (excitatory chains versus inhibitory ones) which are coupled via a mean field interaction on the underlying Erdös-Rényi graph. These two populations are also unknown. In the first part of this talk, we will address the question of inferring the connectivity parameter p based only on the observation of the interacting chains over T time units. In the second part of the talk, we will then discuss how one can exactly discriminate the excitatory chains from the inhibitory ones.
If time allows, I will highlight some of the probabilistics tools we used to tackle both problems. The results presented are based on joint works with Eva Löcherbach (Paris 1) and Julien Chevallier (Grenoble).

Février 2025

Mardi 04 février

Emmanuel Schertzer (University of Vienna) - Principe d'invariance en génétique des populations

L'un des objectifs de la génétique des populations est de comprendre la diversité génétique observée en la reliant aux forces évolutives du passé. Au cours des vingt dernières années, un cadre unificateur a été proposé dans le contexte neutre, c'est-à-dire en l'absence de sélection naturelle ou de toute autre structuration écologique. Dans ce cadre, la diversité génétique résulte uniquement des fluctuations démographiques et sous cette hypothèses simplificatrice, la théorie des coalescents échangeables a permis de formuler de nombreuses prédictions théoriques.

Dans cette présentation, je m'efforcerai de montrer comment ce cadre mathématique s'étend de manière surprenante à des scénarios bien plus complexes. Après avoir présenté une approche générale basée sur un principe d’homogénéisation, j’illustrerai ce résultat sur un modèle de propagation de front. Plus précisément, j'introduirai l’EDPS F-KPP avec effet Allee

$$\partial_t u = \frac{1}{2}\partial_{xx} u + u(1-u)(u+\epsilon) + \sqrt{u} \eta$$

où $\eta$ est un bruit blanc spatio-temporel. Pour ce modèle, je montrerai que la diversité génétique dans la population peut se décrire à partir du cadre neutraliste. En particulier, j'établirai l’existence d’une transition de phase entre vagues poussées et tirées et je discuterai des implications biologiques de ces résultats.

Travail joint avec Félix Foutel-Rodier, Julie Tourniaire et Raphael Forien.

Mardi 18 février

Pause hivernale

Mars 2025

Mardi 04 mars

Huyên Pham (CMAP) - Control of large-scale heterogeneous systems: an extended graphon mean-field approach

Networks play a central role in modeling complex systems such as financial markets, power grids, social interactions, and epidemiology. As these systems scale in size and complexity, understanding their behavior requires scalable and robust methodologies. This talk examines dynamical systems of interacting agents/particles with heterogeneous connections, described by graph structures. By employing graphon theory, we analyze the large-population limit, proving a propagation of chaos result that yields a collection of mean-field stochastic differential equations. We further address the control of these non-exchangeable McKean-Vlasov systems from the perspective of a central planner capable of influencing asymmetric interactions. Leveraging tools tailored for this framework, such as derivatives along flows of measures and the corresponding Itô calculus, we establish that the value function of this control problem satisfies a Bellman dynamic programming equation in a function space over the Wasserstein space. To illustrate the applicability of our approach, we present a linear-quadratic graphon model with analytical solutions and apply it to a systemic risk example involving heterogeneous banks.

Mardi 18 mars

Arvind Singh (LMO, Université-Paris-Saclay) - Jeu de Penney et jeu de Litt

Résumé : Le jeu de Penney est un exemple bien connu de jeu non transitif. Deux joueurs, disons Alice et Bob, choisissent chacun une séquence de Pile/Face (de même longueur). On réalise ensuite une suite de lancers d'une pièce équilibrée et le gagnant est le premier joueur dont la séquence apparaît. Dans une variante récente proposée par Litt, le nombre de lancers N est fixé, et le gagnant est désormais celui dont la séquence apparaît le plus grand nombre de fois. Supposons qu'Alice choisisse P/P et Bob P/F, et que l'on lance la pièce 100 fois. Sur qui parieriez-vous ?

Avril 2025

Mardi 1 avril

Laurent Ménard (Modal'X, Paris Nanterre) - Mariages unimodulaires optimaux

Résumé : On étudiera le problème des mariages (matchings) dans des graphes aléatoires dilués dont les arêtes sont munies de poids iid. Plus précisément, nous regarderons les appariements de poids maximal, et leur convergence pour la topologie locale de Benjamini-Schramm. Les limites sont des mariages unimodulaires optimaux sur des arbres unimodulaires que nous décrirons. Nous verrons que l'outil principal pour étudier ce problème est un algorithme de passage de message (Belief Propagation) que nous détaillerons. A la fin de l'exposé, j'expliquerai comment les techniques présentées permettent aussi d'étudier les mariages de taille maximale et la fameuse transition de phase de Karp-Sipser dans les graphes aléatoires. Basé sur des travaux en commun avec Nathanaël Enriquez, Mike Liu et Vianney Perchet.

Mardi 15 Avril

ATTENTION : séance à 11h30 (salle de séminaire habituelle) pour cause de conseil de laboratoire avant.

Nicolas Champagnat (Inria Nancy) - Convergence vers l'équation canonique de la dynamique adaptative d'un modèle individu-centré dans un régime de mutations petites mais fréquentes

Résumé : Ce travail est réalisé en collaboration avec Vincent Hass (IUT Nord-France Comté).

Nous considérons un modèle stochastique individu centré à valeur mesure décrivant l'évolution darwinienne d'une population asexuée avec une taille de population constante. Nous étudions le comportement asymptotique de ce processus dans une asymptotique de mutations fréquentes, de grande population et de petits mutations dans l'espace des traits phénotypiques. Nous prouvons la convergence du processus du trait moyen vers une EDO connue sous le nom d'équation canonique de la dynamique adaptative, qui décrit l'évolution du trait dominant dans la population sous l'effet d'un gradient de fitness. Ce résultat est valable pour une certaine gamme de paramètres d'échelle, en particulier pour des mutations suffisamment petites, mais pas trop. Ce résultat est basé sur une analyse asymptotique lente-rapide. Nous utilisons une méthode de moyennisation inspirée de Kurtz, basée sur des contrôles des moments de la distribution de la population et sur un argument de compacité et d'unicité. Nous prouvons que la composante rapide, donnée par la distribution de traits dilatée et centrée dans la population, converge vers le processus à valeur mesure de Fleming-Viot centré dont nous étudions les propriétés d'ergodicité forte à l'aide d'une construction de type look-down.

Mardi 29 avril

Pierre Le Bris (IHES) - On uniform in time propagation of chaos in the metastable Curie-Weiss model

Some low temperature particle systems in mean-field interaction are ergodic with respect to a unique invariant measure, while their (non-linear) mean-field limit may possess several steady states. In particular, in such cases, propagation of chaos (i.e. the convergence of the particle system to its mean-field limit as n, the number of particles, goes to infinity) cannot hold uniformly in time since the long-time behaviors of the two processes are a priori incompatible. However, the particle system may be metastable, and the time needed to exit the basin of attraction of one of the steady states of its limit, and go to another, is exponentially (in n) long. Before this exit time, the particle system reaches a (quasi-)stationary distribution, which we expect to be a good approximation of the corresponding non-linear steady state.

The goal of this talk is to study a toy model, the Curie-Weiss model, and show uniform in time propagation of chaos of the particle system conditioned to keeping a positive mean.

Based on joint work with L. Journel (Université de Neuchâtel).