La méthode des lignes de niveaux (level-set)

Nous proposons une méthode de lignes de niveaux pour l'optimisation de formes qui combine, autant que faire se peut, les avantages des méthodes de variation de frontière et d'homogénéisation. Suivant une idée de la méthode d'homogénéisation nous utilisons un maillage fixe qui contient à la fois la forme et les trous (ou le vide) représentés par un matériau très faible. Le bord de la forme est paramétré par une fonction ligne de niveaux suivant le formalisme d'Osher et Sethian. L'optimisation de forme consiste à transporter la fonction ligne de niveaux (c'est-à-dire le bord de la forme) avec une vitesse qui fasse décroître la fonction objectif. Suivant la méthode de variation de frontière nous calculons cette vitesse en dérivant la fonction objectif par rapport à la forme. Nous considérons un modèle mécanique d'élasticité linéarisée en deux ou trois dimensions d'espace et des fonctions objectifs régulières générales (la compliance ou un critère de moindres carrés).