Problèmes spectraux et géométrie convexe
Les problèmes d'optimisation de forme pour des fonctionnelles spectraux ou géométriques concernent des questions théoriques et numériques variées : existence, régularité, caractérisation et approximation numérique des formes optimales. Les membres de l'équipe ont travaillé sur les aspects suivants :
Optimisation numérique de formes en géométrie convexe
Il est classique d'utiliser la dérivée de forme pour trouver des perturbations d'une forme qui font décroître une fonction objectif. La présence des contraintes additionnelles du type convexité, largeur constante, largeur minimale ou diamètre fixe nécessite des nouvelles approches numériques. En effet, une région ou la contrainte de convexité est saturée ne peut pas être perturbée arbitrairement. De la même façon, une perturbation de la frontière d'un corps de largeur constante est non-locale. Des paramétrisations utilisant la fonction support ou la fonction gauge d'un convexe ont aidé à surmonter ce type de difficultés et ont généré des méthodes numériques robustes avec un grand champ d'applications.
La géométrie convexe donne un cadre simplifié pour obtenir des résultats d'existence de formes optimales. Les simulations numériques fournissent des questions pertinentes concernant la caractérisation des formes optimales pour des fonctionnelles géométriques et spectrales. En particulier, des avancées récentes ont été faites par les membres de l'équipe sur l'étude des formes tri-dimensionnelles de largeur constante minimisant le volume.
Nouvelles méthodes pour identifier les formes optimales pour des problèmes spectraux
Faber et Krahn ont montré que le disque est la forme qui minimise la valeur propre fondamentale du Laplacien avec conditions Dirichlet parmi les formes ayant une aire donnée. Le même problème pose dans la classe des polygones est ouvert à ce jour : parmi les n-gones d'air donnée le n-gone régulier minimise la valeur propre fondamentale du Laplacien Dirichlet. Malgré sa simplicité apparente et son caractère fini-dimensionnel, ce problème est encore non-résolu. Des avancées significatifs ont été faites sur ce sujet par les membres de l'équipe concernant les aspect suivants :
- calcul de la dérivée seconde de forme pour des valeurs propres du Laplacien-Dirichlet sur des domaines irréguliers
- étude de la minimalité locale des polygones réguliers en utilisant des estimations théoriques précises et des calculs numériques haute performance
- étude qualitative des optimiseurs, permettant à réduire la conjecture à un nombre fini de calculs numériques
Ce travail donne une nouvelle perspective sur l'étude des problèmes théoriques en optimisation de formes, mélangeant des idées analytiques fines et des calculs numériques rigoureux.