Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole Polytechnique
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PEIPS

PEIPS
Un arbre à boucles muni d'un champ gaussien

Thématique de recherche

Notre équipe développe des modèles probabilistes qui décrivent des dynamiques ou systèmes complexes, rendant compte des interactions entre populations, individus ou particules. Nous cherchons notamment à déterminer l’évolution de ces modèles en temps long et lorsque la taille tend vers l'infini.

 

Responsable : Sylvie Méléard

Membres permanents :

Postdocs :

Doctorantes & doctorants :

  • Antoine Aurillard, encadré par Igor Kortchemski & Bruno Schapira depuis 2023
  • Sirine Boucenna, encadrée par Vasilis Dakos & Gaël Raoul depuis 2021
  • Vanessa Dan, encadrée par Igor Kortchemski & Cyril Marzouk depuis 2023
  • Ana Fernandez Baranda, encadrée par Vincent Bansaye & Sylvie Méléard depuis 2022
  • Guillaume Garnier, encadré par Marie Doumic & Marc Hoffmann & Lydia Robert depuis 2021
  • Giacomo Greco, encadré par Alberto Chiarini & Giovanni Conforti depuis 2020
  • Anouar Jeddi, encadré par Nicolas Champagnat & Sylvie Méléard depuis 2023
  • Emmanuel Kammerer, encadré par Nicolas Curien & Cyril Marzouk depuis 2022
  • Madeleine Kubasch, encadrée par Vincent Bansaye depuis 2021
  • Théo Lenoir, encadré par Frédérique Bassino & Lucas Gerin depuis 2021
  • Maxime Ligonnière, encadré par Vincent Bansaye & Marc Peigné depuis 2021
  • Ignacio Madrid Canales, encadré par Sylvie Méléard depuis 2020
  • Maxime Marivain, encadré par Anne-Laure Basdevant & Lucas Gerin depuis 2023
  • Jules Olayé, encadré par Marie Doumic & Milica Tomasevic depuis 2022
  • Alexandre Perrin, encadré par Marie Doumic & Sylvie Méléard depuis 2023
  • Le Tuyet Nhi Pham, encadrée par Giovanni Conforti & Gaël Raoul à partir de 2024
  • Félix Rebotier, encadré par Vincent Bansaye & Clément Foucart depuis 2023

Projets liés à l’équipe : Chaire MMB, ANR Isoma, ERC SINGER, projet RandNet.

Anciens projets : ANR LSD, ANR ABIM, ANR CADENCE.

 

 

Activités de recherche

L’équipe PEIPS est organisée autour de trois thèmes majeurs.

Probabilités et Équations aux Dérivées Partielles pour l’évolution du vivant

Nous développons des modèles aléatoires et déterministes pertinents pour capturer des phénomènes liés à la biodiversité, l’écologie et l’évolution. Plus spécifiquement, nous considérons des systèmes complexes construits essentiellement sur les comportements individuels (cellules, bactéries, espèces, populations, métapopulations) et qui prennent en compte le plus possible la biologie du problème. La modélisation aléatoire permet de quantifier les fluctuations dont les sources peuvent être diverses : aléa dans la taille d’une petite population lié aux naissances et morts d’individus (dérive génétique), aléa de mutations qui apparaissent au moment de la reproduction (dans la réplication de l’ADN), aléa des changements environnementaux (changement climatique), aléa dans le déplacement d’individus (impact de la fragmentation de l’habitat). La modélisation déterministe offre un point de vue plus macroscopique dans lequel les comportements individuels s’intègrent dans une évolution décrivant le comportement global du système.

Notre approche vise à construire, en lien avec des biologistes, de "bons" modèles, au sens où ils sont le plus proche possible du phénomène étudié mais aussi suffisamment simples pour pouvoir donner des réponses quantitatives au problème posé. Ce sont des modèles multi-échelles, dépendant de nombreux paramètres qui vont quantifier les liens entre ces différentes échelles de temps, d’espace, dans les paramètres génétiques, écologiques, phénotypiques. Les questions biologiques portent essentiellement sur l’évolution - invasion et fixation de mutations, généalogies structurées spatialement, branchement évolutif, spéciation, intérêt des reproductions sexuée et asexuée - et sur les dynamiques de population - extinction, compétition, limites d’échelles, états quasi-stationnaires, comportement en milieu aléatoire.

Les outils que nous utilisons font essentiellement intervenir le calcul stochastique, les EDPs, les processus à valeurs mesures, les coalescents et les processus en environnement aléatoire.

Notre équipe porte la chaire Modélisation Mathématique et Biodiversité avec le Museum National d’Histoire Naturelle.

Branchement évolutif et pinson de Darwin

 

Particules en interaction et leurs limites champ moyen.

Une partie de l'équipe étudie les processus non-linéaires au sens de McKean-Vlasov en tant que limites champ-moyen de systèmes de particules en interaction. Dans des phénomènes biologiques comme la chimiotaxie ou les neurosciences, le comportement des individus est fortement lié à leur environnement et à leur capacité à y échanger des informations. Quand les ressources et les contraintes évoluent de manière aléatoire, la modélisation des comportements à l’échelle individuelle conduit naturellement à des systèmes de particules stochastiques avec interactions entre elles et avec le milieu environnant. Ceci se retrouve dans divers autres systèmes organisés tels les réseaux de communication, de trafic routier, ou vasculaires.

Mathématiquement, on s’intéresse au caractère bien posé de ces systèmes de particules et de leur limite champ-moyen, à cette convergence, et aux propriétés qualitatives des solutions (comportement en temps long, transition de phases, métastabilité...). On s’intéresse aussi à la simulation et aux méthodes de Monte-Carlo en vue d'études qualitatives et quantitatives.

En neurosciences, on modélise l’évolution de potentiels de membranes de neurones par des EDS à sauts. On étudie notamment le comportement en temps long et les effets de taille finie du réseau. Une des motivations est de mieux comprendre les oscillations observées par les expérimentateurs.

En chimiotaxie, on modélise l'évolution d'une population de cellules dans l'espace par un système d'EDS en interaction dirigées par les mouvements browniens indépendants. Comme les cellules ont tendance à s'attirer par les signaux chimiques qu'elles déposent, les interactions sont souvent singulières et non-markoviennes. On cherche à comprendre pour quels paramètres du modèle on peut observer des comportement organisés (tels des agglomérations) et comment ce comportement évolue à l’échelle microscopique et macroscopique.

Les outils employés se situent à la frontière de l'analyse stochastique, de l'analyse d’EDP, et des systèmes dynamiques.
 

Modèles discrets aléatoires et leurs limites

Une autre thématique développée dans l'équipe PEIPS concerne l’étude de grandes structures aléatoires discrètes et de leurs limites (volume infini ou limites d'échelles). On retrouve en effet au cœur de plusieurs problèmes naturels des objets discrets aléatoires fondamentaux comme des arbres, graphes, cartes planaires, permutations, etc. Les applications et motivations sont nombreuses :

  • Physique théorique (physique statistique, gravitation quantique, etc.)
  • Informatique théorique (analyse d'algorithmes, structures de données, etc.)
  • Systèmes complexes (graphes d'interaction, automates cellulaires, etc.)
  • Biologie (arbres phylogénétiques, processus de branchements, etc.)

Un enjeu important est en particulier de comprendre les propriétés « typiques » de ces objets. Pour cela une approche féconde est de tirer ces objets au hasard et d'étudier leur comportement asymptotique lorsque leur « taille » grandit. Le passage du discret au continu (et vice-versa) est très riche et source de nombreux développements. En effet, depuis les années 1990, de nombreux objets continus ont émergé comme limites d'échelles universelles ; citons notamment l'arbre brownien d'Aldous, la sphère brownienne et le cographon brownien.

Pour contribuer à ce domaine, nous développons et utilisons des méthodes variées comme :

  • analyse fine de processus stochastiques et de processus de branchement
  • grands systèmes de particules en interaction, limites hydrodynamiques
  • combinatoire énumérative et analytique
  • théorèmes limites et grandes déviations

Deux chemins croissants dans un nuage poissonien

 

 

Anciens membres de l'équipe :